The geometry of nondegeneracy conditions in completely integrable systems

2014 Nondegeneracy conditions need to be imposed in K.A.M. theorems to insure that the set of diophantine tori has a large measure. Although they are usually expressed in action coordinates, it is possible to give a geometrical formulation using the notion of regular completely integrable systems defined by a fibration of a symplectic manifold by lagrangian tori together with a Hamiltonian function constant on the fibers. In this paper, we give a geometrical definition of different nondegeneracy conditions, we show the implication relations that exist between them, and we show the uniqueness of the fibration for non-degenerate Hamiltonians. RÉSUMÉ. 2014 Dans les théorèmes de type K.A.M., on doit imposer des conditions de non-dégénérescence pour assurer que l’ensemble des tores diophantiens a une grande mesure. Elles sont habituellement présentées en coordonnées actions, mais il est possible d’en donner une formulation géométrique en considérant des systèmes complètement intégrables définis par la donnée d’une fibration d’une variété symplectique par des tores lagrangiens et d’un Hamiltonien constant sur les fibres. Dans cet article, nous donnons une définition géométrique de différentes conditions de nondégénérescence, nous montrons les différentes relations d’implication qui existent entre elles, et nous montrons l’unicité de la fibration pour les Hamiltoniens non-dégénérés. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Vol. XIV, n° 4, 2005 pp. 705-719 (*) Reçu le 8 mars 2004, accepté le 14 décembre 2004 (1) Geometric Analysis Group, Institut für Mathematik, Humboldt Universitàt, Rudower Chaussee 25, Berlin D-12489, Germany. E-mail: [email protected] This paper has been partially supported by the European Commission through the Research Training Network HPRN-CT-1999-00118 "Geometric Analyis".